Sistem Pemecahan Dari Persamaan Linear (Solving Systems of
Linear Equations)
Introduction ( Pengantar )
Sistem pemecahan persamaan linier ditemukan di hampir semua bidang teknik dan aplikasi ilmiah. Suatu sistem persamaan linear umumnya dinyatakan dalam matriks bentuk sebagai
Ax = b,
Di mana A adalah matriks sistem , yang merupakan matriks n × n, x adalah vektor yang tidak diketahui dari n komponen, dan b adalah vektor konstanta. Teknik untuk memecahkan sistem linier bisa langsung atau berulang. Teknik langsung cocok untuk sistem kecil (nilai kecil n ) di mana kesalahan komputasi akan kecil. Teknik berulang lebih sesuai untuk sistem besar di mana solusi yang diasumsikan disempurnakan setelahnya setiap iterasi sambil menekan kebisingan komputasi.
Sebelum kita mulai, kita mendefinisikan beberapa struktur berikut ini:
Struktur Matrix Khusus ( Special Matrix Structures )
Direct and Indirect Techniques Used to Solve Linear Systems
Plane Rotation (Givens) Matrix ( Rotasi Pesawat diberikan Matrix )
Rotasi Pesawat diberika Matriks rotasi bidang A 5 × 5 atau Gpq adalah matriks yang terlihat seperti identitas matriks kecuali elemen yang terletak pada lokasi pp , pq , qp , dan qq. Matriks seperti itu diberi label Gpq. Misalnya, matriks G42 mengambil bentuk.
dimana c = cos θ dan s = sin θ . Notasi yang biasa digunakan adalah subscript mengacu pada elemen yang memiliki nilai sin negatif, yaitu elemen pada baris 4 dan kolom 2 dalam contoh kita.
Matriks yang diberikan adalah matriks ortogonal dan kami memiliki Gpq G1pq t = I . Prakali matriks A dengan Gpq hanya memodifikasi baris p dan q . Semua baris lainnya dibiarkan tidak berubah. Unsur-unsur pada baris p dan q menjadi
Banded Matrix ( Matrix Berpita )
Matriks berpita dengan bandwidth p lebih rendah dan bandwidth atas q menyiratkan bahwa semua elemen bukan nol terletak pada diagonal utama, subdiagonal p bawah dan subdiagonal atas q superdiagonal. Semua elemen lainnya adalah nol, yaitu ketika i > j + p dan j > i + q . Dalam hal ini, matriks A akan memiliki elemen subdiagonal p tak nol dan q tak nol elemen superdiagonal. Contoh matriks berpita dengan bandwidth lebih rendah p = 2 dan bandwidth atas q = 3 memiliki struktur berikut di mana × menunjukkan bukan nol elemen:
Diagonal Matrix ( Matrix Diagonal)
Matriks diagonal D adalah kasus khusus dari matriks berpita ketika p = q = 0 dan hanya diagonal utamanya bukan nol. Sebuah matriks diagonal 5 × 5 D diberikan oleh
Kita dapat menulis matriks diagonal di atas dalam bentuk ringkas sebagai
D = diag (d1 d2 d3 d4 d5 ),
Dimana d i
= d ii .
Upper Triangular Matrix ( Matrix Segitiga Atas)
Matriks segitiga atas U adalah kasus khusus dari matriks berpita ketika p = 0 dan hanya diagonal utama dan superdiagonal q pertama yang bukan nol.
Lower Triangular Matrix ( Matrix Segitiga Bawah )
Matriks segitiga bawah L adalah kasus khusus dari matriks berpita ketika q = 0 dan hanya diagonal utama dan subdiagonal p pertama yang bukan nol.
Tridiagonal Matrix
Matriks tridiagonal adalah kasus khusus dari matriks berpita ketika p = q = 1 dan hanya diagonal utama, superdiagonal pertama, dan subdiagonal pertama tidak nol. A 5 × 5 matriks tridiagonal A diberikan oleh
Upper Hessenberg Matrix ( Matrix Hessenberg Atas )
Matriks Hessenberg atas n × n adalah kasus khusus dari matriks berpita ketika p = 1 dan q = n dan elemen-elemen diagonal, superdiagonal, dan subdiagonal pertama tidak nol. Matriks Hessenberg atas memiliki h ij = 0 setiap kali j < i 1. A 5 × 5 matriks Hessenberg atas H diberikan oleh
Lower Hessenberg Matrix ( Matrix Hessenberg Bawah )
Matriks Hessenberg bawah adalah transpos dari matriks Hessenberg atas.
